【題目】已知橢圓： 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線： 與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

【答案】（Ⅰ），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去y得關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知， ，則橢圓E的方程為.

由方程組得.①

方程①的判別式為，由，得，

此時(shí)方程①的解為，

所以橢圓E的方程為.

點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.

（Ⅱ）由已知可設(shè)直線的方程為，

由方程組可得

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（），.

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為.

由方程組可得.②

方程②的判別式為，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常數(shù)，使得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計(jì)），設(shè)∠BAD＝，(，)．

（1）當(dāng)cos＝時(shí)，求小路AC的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，求此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線：（為參數(shù)，），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線有公共點(diǎn)，且直線與曲線的交點(diǎn)恰好在曲線與軸圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

8

6

5

5

6

8

9

9

7

6

2

7

0

1

2

2

3

4

5

6

6

8

9

8

7

7

6

5

4

3

3

2

8

1

4

4

5

2

1

1

0

0

9

0

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m

不超過m

總計(jì)

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

總計(jì)

（3）根據(jù)（2）中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：，．

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【題目】北京市政府為做好會(huì)議接待服務(wù)工作，對(duì)可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響.

（1）求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.

（2）如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利元，求的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.

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（1）根據(jù)莖葉圖完成下面的列聯(lián)表：

達(dá)標(biāo)

未達(dá)標(biāo)

總計(jì)

組

組

總計(jì)

（2）判斷是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間能否達(dá)到一小時(shí)”有關(guān).

參考公式與臨界值表：，其中.

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【題目】某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問.求：

（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；

（2）求在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)的分布列.

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【題目】如圖，正方形和梯形所在的平面互相垂直，，，與交于點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若，求證：平面平面．

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