Question

3．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S_n，且滿足2S_n=a_n²+n-4．
（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）$2{S_n}=a_n^2+n-4$，可得n=1時(shí)，2a₁=${a}_{1}^{2}$-3，a₁＞0，解得a₁．n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1，化為：（a_n-1+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，即可證明{a_n}為等差數(shù)列．
（2）由（1）可得：a_n=n+2．b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+3）（n+2）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，即可得出．

解答 （1）證明：∵$2{S_n}=a_n^2+n-4$，∴n=1時(shí)，2a₁=${a}_{1}^{2}$-3，a₁＞0，解得a₁=3．
n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=${a}_{n}^{2}$+n-4-$（{a}_{n-1}^{2}+n-1-4）$，化為：（a_n-1+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為1．
（2）解：由（1）可得：a_n=3+（n-1）=n+2．
∴b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+3）（n+2）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3n+9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．