Question

11．已知三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R），
（1）若函數(shù)f（x）過點(diǎn)（-1，2）且在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+2=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間[-3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得f（-1）=2，f（1）=-2，f′（1）=0，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)和極值，求出區(qū)間[-3，2]處端點(diǎn)的函數(shù)值，比較可得最值，由|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，可得t≥f_max（x）-f_min（x），可得t的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）過點(diǎn)（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，
又f′（x）=3ax²+2bx+c，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-2\\{f^'}（（1）=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=-2\\ 3a+2b+c=0\end{array}\right.$，解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在區(qū)間[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴對于區(qū)間[-3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=20，
∴t≥20，
所以t的最小值是20．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和函數(shù)的極值以及最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．