Question

13．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．
（Ⅰ）求cosθ；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=6cosxcos（x-θ）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosθ的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵3sinθtanθ=3$\frac{{sin}^{2}θ}{cosθ}$=8，且0＜θ＜π，∴cosθ＞0，θ為銳角．
∴$\frac{3-{3cos}^{2}θ}{cosθ}$=8，求得cosθ=$\frac{1}{3}$，或cosθ=-3（舍去），∴sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
綜上可得，cosθ=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=6cosxcos（x-θ）=6cosx•（cosx•$\frac{1}{3}$+sinx•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）
=2cos²x+4$\sqrt{2}$sinxcosx=cos2x+1+2$\sqrt{2}$sin2x=3（$\frac{1}{3}$cos2x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sin2x）+1
=3cos（2x-θ）+1，
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x-θ∈[-θ，$\frac{π}{2}$-θ]，f（x）在此區(qū)間上先增后減，
當(dāng)2x-θ=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為4，當(dāng)2x-θ=-θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為3cos（-θ）+1=3cosθ+1，
故函數(shù)在[2，$\frac{π}{4}$]上的值域?yàn)閇2，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．