Question

3．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²．若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的性質(zhì)得出f（x）的周期為2，在利用奇偶性得出y=f（x）在[-1，3]上的函數(shù)圖象，利用圖象判斷交點個數(shù)為4時的條件．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）的周期為2．
令g（x）=0得f（x）=k（x+1）．
做出y=f（x）在[-1，3]上的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)直線y=k₁（x+1）經(jīng)過點（3，1），則k₁=$\frac{1}{4}$．
∵直線y=k（x+1）經(jīng)過定點（-1，0），且直線y=k（x+1）與y=f（x）的圖象有4個交點，
∴0$＜k≤\frac{1}{4}$．
故答案為（0，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的周期的應(yīng)用，零點個數(shù)與函數(shù)圖象交點的關(guān)系，屬于中檔題．