Question

7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥x-1\\ x+y≤4\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，則當(dāng)z=3時(shí)，x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{5}]$
• B． $[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，5]$
• C． $[\frac{9}{2}，5]$
• D． $[\sqrt{5}，\frac{9}{2}]$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+y，則當(dāng)z=3時(shí)，即x+y=3時(shí)，作出此時(shí)的直線，
則x²+y²的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，
當(dāng)直線x+y=3與圓x²+y²=r²相切時(shí)，距離最小，
即原點(diǎn)到直線x+y=3的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，即最小值為d²=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)直線x+y=3與圓x²+y²=r²相交與點(diǎn)B或C時(shí)，距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2，即B（1，2），同理解得C（2，1）
此時(shí)r²=x²+y²=2²+1²=5，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．屬于中檔題．