Question

16．已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線l過定點（3，1），圓C的圓心為（1，2），半徑為5．定點（3，1）到圓心（1，2）的距離小于半徑，從而得到點（3，1）在圓內，由此能證明不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交．
（2）設直線l與圓交于A、B兩點．當直線l過定點M（3，1）且垂直于過點M的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短．

解答 證明：（1）把直線l的方程改寫成（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以直線l總過定點（3，1）．
圓C的方程可寫成（x-1）²+（y-2）²=25，
所以圓C的圓心為（1，2），半徑為5．
定點（3，1）到圓心（1，2）的距離為$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
即點（3，1）在圓內．
所以過點（3，1）的直線總與圓相交，即不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交．
解：（2）設直線l與圓交于A、B兩點．當直線l過定點M（3，1）且垂直于過點M的圓C的半徑時，
l被截得的弦長|AB|最短．
因為|AB|=2$\sqrt{|BC{|}^{2}-|CM{|}^{2}}$=2$\sqrt{25-（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
此時k_AB=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=2，所以直線AB的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．
故直線l被圓C截得的弦長最小值為4$\sqrt{5}$，此時直線l的方程為2x-y-5=0．

點評 本題考查直線與圓總相交的證明，考查圓的方程、直線與圓的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．