【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示過原點的曲線,且在x=±1處的切線的傾斜角均為π,有以下命題:
①f(x)的解析式為f(x)=x3-4x,x∈[-2,2].
②f(x)的極值點有且只有一個.
③f(x)的最大值與最小值之和等于零.
其中正確命題的序號為________.
【答案】①③.
【解析】分析:先根據(jù)已知條件,列出的方程組并解之得由此得到①是真命題;對函數(shù)進行求導運算,可得在區(qū)間[-2,2]上導數(shù)有兩個零點,函數(shù)也就有兩個極值點,故②為假命題;根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),結合奇函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得的最大值與最小值之和為零,故③為真命題,由此可得正確答案.
詳解:因為函數(shù)
所以得
對函數(shù)求導數(shù),得結合題意知
,解之得
對于①,函數(shù)解析式為故①是真命題;
對于②因為,在區(qū)間 [-2,2]上有兩個零點,故的極值點有兩個,得②為假命題.
對于③,因為函數(shù)為奇函數(shù),所以若它在[-2,2]上的最大值為,則它的最小值為,所以的最大值與最小值之和為零,故命題③為真命題.
故本題答案為①③..
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【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1,F(xiàn)到上頂點的距離為 ,點C(m,0)是線段OF上的一個動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,使得( + )⊥ ,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|+2|x+1|的最小值為m.
(1)求m的值;
(2)若a、b、c∈R, +c2=m,求c(a+b)的最大值.
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【題目】設,函數(shù).
(1)當時,求在上的單調(diào)區(qū)間;
(2)設函數(shù),當有兩個極值點時,總有,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖所示,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦距為2,直線y=x被橢圓C截得的弦長為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點M(x0 , y0)是橢圓C上的動點,過原點O引兩條射線l1 , l2與圓M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 分別相切,且l1 , l2的斜率k1 , k2存在.
①試問k1k2是否定值?若是,求出該定值,若不是,說明理由;
②若射線l1 , l2與橢圓C分別交于點A,B,求|OA||OB|的最大值.
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【題目】2018年2月25日第23屆冬季奧動會在韓國平昌閉幕,中國以金銀銅的成績結束本次冬奧會的征程,某校體育愛好者協(xié)會對某班進行了“本屆冬奧會中國隊表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結果只有“滿意”和“不滿意”兩種),按分層抽樣從該班學生中隨機抽取了人,具體的調(diào)查結果如下表:
某班 | 滿意 | 不滿意 |
男生 | ||
女生 |
(1)若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多人,求該班男生人數(shù)和女生人數(shù);
(2)若從該班調(diào)查對象的女生中隨機選取人進行追蹤調(diào)查,記選中的人中“滿意”的人數(shù)為,求時對應事件的概率.
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【題目】候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模地遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量M之間的關系為:,(其中a,b是實數(shù)),據(jù)統(tǒng)計,該種鳥類在靜止的時間其耗氧量為45個單位,而其耗氧量為105個單位時,其飛行速度為1m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位。
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【題目】設集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若BA,求實數(shù)a的值.
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【題目】設函數(shù)f(x)=xex﹣ax2(a∈R).
(1)若函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若對任意的實數(shù)a,函數(shù)h(x)=kx+b(k,b為實常數(shù))的圖象與函數(shù)f(x)的圖象總相切于一個定點. ①求k與b的值;
②對(0,+∞)上的任意實數(shù)x1 , x2 , 都有[f(x1)﹣h(x1)][f(x2)﹣h(x2)]>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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