Question

8．關(guān)于x的函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}tsin（x+\frac{π}{4}）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$（t≠0）的最大值為m，最小值為n，且m+n=2017，則實(shí)數(shù)t的值為$\frac{2017}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）可化為 t+$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，則g（-x）=-g（x），設(shè)g（x）的最大值為M，最小值為N，則M+N=0，由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}tsin（x+\frac{π}{4}）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}t（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$
=$\frac{{x}^{3}+tsinx+t（{x}^{2}+cosx+2）}{{x}^{2}+2+cosx}$=t+$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，則g（-x）=$\frac{-{x}^{3}-tsinx}{{x}^{2}+2+cos（-x）}$=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù)，
設(shè)g（x）的最大值為M，最小值為N，
則M+N=0，
即有t+M=m，t+N=n，
a+b=2t+m+n=2t=2017，
解得t=$\frac{2017}{2}$．
故答案為：$\frac{2017}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和運(yùn)算能力，屬于中檔題．