Question

16．設(shè)$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在區(qū)間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得到f（x）的值域．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；在區(qū)間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數(shù)，即可ω的范圍，可得ω最大值．

解答 解：設(shè)$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
化簡可得：f（x）=2sinωxcosωxcos$\frac{π}{6}$+2sin²ωxsin$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2ωx）+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵sin2ωx∈[-1，1]
∴f（x）∈$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$
即函數(shù)f（x）值域是$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵y=f（x）在區(qū)間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數(shù)
∴-$\frac{3π}{4}×2ω≥-\frac{π}{2}+2kπ$且$2ω×\frac{π}{2}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$ω≤\frac{1}{3}-\frac{4}{3}k$
∵ω＞0．
∴${ω_{max}}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．