Question

8．已知圓C：x²+y²-2x-8=0，直線l：x+ay-3a=0．
（1）當直線l與圓C相切時，求實數a的值；
（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且AB=4$\sqrt{2}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l與圓C相切，圓心C到直線l的距離d=r，建立方程，即可求實數a的值；
（2）求出圓心C到直線l的距離，利用勾股定理求出a，即可求直線l的方程．

解答 解：（x-1）²+y²=9，圓心為（1，0），半徑為3…2
∵直線l與圓C相切，
∴圓心C到直線l的距離為$\frac{|1-3a|}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=3$…4
∴$a=-\frac{4}{3}$…7
（2）∵直線l與圓C相交于A、B兩點，且$AB=4\sqrt{2}$，
∴圓心C到直線l的距離為$\frac{|1-3a|}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=1$…10
∴a=0或$a=\frac{3}{4}$…12
∴直線l的方程為：x=0或4x+3y-9=0….14

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．