Question

已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，存在常數(shù)a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

．
（1）求f（2a）；
（2）若f（x）有意義，證明：存在常數(shù)t＞0，使f（x+t）=f（x）；
（3）若x∈（0，2a），則f（x）＞0成立，求證：當x∈（0，2a）時f（x）是減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=2a，x₂=a，帶入f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

，并根據(jù)f（a）=1可求出f（2a）=0；
（2）根據(jù)已知條件及f（2a）=0，f（x+2a）=-

1

f(x)

，所以可求出f（x+4a）=f（x），所以便找到了t=4a；
（3）根據(jù)單調(diào)性的定義任設(shè)x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，再根據(jù)條件：f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

即可比較f（x₁），f（x₂）的大小關(guān)系，從而證明出函數(shù)f（x）在（0，2a）上是減函數(shù)．

解答： 解：（1）令x₁=2a，x₂=a得：f（a）=

f(2a)f(a)+1

f(a)-f(2a)

；
∵f（a）=1，∴1=

f(2a)+1

1-f(2a)

，解得f（2a）=0；
（2）證明：f（x+2a）=f[x-（-2a）]=

f(x)f(-2a)+1

f(-2a)-f(x)

；
∵f（x）是奇函數(shù)，f（2a）=0；
∴f（-2a）=-f（2a）=0；
∴f（x+2a）=-

1

f(x)

；
∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-

1

f(x+2a)

=f(x)；
∴存在常數(shù)4a＞0，使f（x+4a）=f（x）；
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，則：
f（x₂）-f（x₁）=

f(x1)f(x2)

f(x1-x2)

，x₁-x₂∈（0，2a）；
∴根據(jù)x∈（0，2a）時，f（x）＞0得：f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₁）＜f（x₂）；
∴當x∈（0，2a）時f（x）是減函數(shù)．

點評：考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法．