【題目】如圖所示，點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離是 ，線段MF1的中垂線交MF2于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與軌跡G交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α、β，且α+β=π，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】
（1）解：連接PF1，由 ，

∴ ，

又∵|PM|=|PF1|，∴ ，

由橢圓的定義可知2a=2 ，c=1，b=1．

即有動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程為 ；


（2）證明：依題意 ，消去y，得

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

又 = ， =

依題意得， + =0，

即 + =0，

化簡(jiǎn)得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，

∴2k +（m﹣k）（﹣ ）﹣2m=0，

整理得，m=﹣2k，

∴直線l的方程為y=k（x﹣2），

因此直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．


【解析】（1）連接PF1 ， 運(yùn)用垂直平分線定理和橢圓的定義，可得P的軌跡為橢圓，方程為 ；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，再由直線恒過(guò)定點(diǎn)的方法，即可得到所求定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖示，A，B分別是橢圓C： （a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是|AF與|FB|的等差中項(xiàng)， 是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)．點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥x軸．以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A，M，連接FM交直線l于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的方程；
（2）試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得直線PQ必過(guò)該定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E： 過(guò)點(diǎn) ，離心率為 ，點(diǎn)F1 ， F2分別為其左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，且 ？若存在，求出該圓的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓和雙曲線焦點(diǎn)F1 ， F2相同，且離心率互為倒數(shù)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2，則二面角A﹣PB﹣C的正切值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a范圍是（ ）
A.a＞﹣3
B.a＜﹣3
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知平行四邊形ABCD（如圖1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F(xiàn)是線段A1C的中點(diǎn)（如圖2）．
（1）求證：BF∥面A1DE；
（2）求證：面A1DE⊥面DEBC；
（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，﹣6）處的切線方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，定義在[﹣2，2]的偶函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則方程f（f（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）
A.3
B.4
C.5
D.7

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