Question

已知函數(shù)f（x）=-sin²x+2asinx+5
（1）若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)f（x）=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用t=sinx，換元，化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)對(duì)于a討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合1≤f（x）≤8，即可求a的取值范圍；
（2）通過(guò)f（x）=0有實(shí)數(shù)解，對(duì)a討論，利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)判定定理分別求a的取值范圍．

解答：解：（1）令t=sinx，則原函數(shù)變?yōu)閥=f（t）=-t²+2at+5，t∈[-1，1]，其對(duì)稱(chēng)軸為t=a．
①a＞1時(shí)，函數(shù)在t∈[-1，1]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值為[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≥1 4+2a≤8

⇒1＜a≤

3

2

．
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，有

f(1)≥1 f(a)≤8 f(-1)≥1

⇒-1≤a≤1．
③當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)在t∈[-1，1]上單調(diào)減函數(shù)，有

4+2a≥1 4-2a≤8

，解得-

3

2

≤a＜-1，
綜上-

3

2

≤a≤

3

2

．
（2）①a＞1時(shí)，函數(shù)在t∈[-1，1]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值為[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≤0 4+2a≥0

⇒a≥2．
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，有

f(a)≥0 f(1)≤0或f(-1)≤0

，⇒a≥2或a≤-2，所以此時(shí)無(wú)解．
③當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)在t∈[-1，1]上單調(diào)減函數(shù)，有

4+2a≤0 4-2a≥0

，解得a≤-2，
綜上a≥2或a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及換元法、零點(diǎn)判定定理，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．