Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無(wú)零點(diǎn)
（1）若a是從-2、-1、0、1、2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率；
（2）若是從區(qū)間[-2，2]任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無(wú)零點(diǎn)，知a²+b²＜4，由此利用列舉法能求出函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率．
（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，事件“函數(shù)無(wú)零點(diǎn)”所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={（a，b）|a²+b²＜4，且（a，b）∈Ω}，由此利用幾何概型能求出函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無(wú)零點(diǎn)，
∴方程x²+2ax-b²+4=0無(wú)實(shí)根，∴a²+b²＜4，
記事件A為函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無(wú)零點(diǎn)，
∵a是從-2、-1、0、1、2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
∴基本事件共有15個(gè)，分別為：
（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），（-1，1），
（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
事件A包含6個(gè)基本事件，分別為：
（-1，0），（-1，1），（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），
∴函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率P（A）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．…（6分）
（2）如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?br />Ω={（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，
事件A所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?br />A={（a，b）|a²+b²＜4，且（a，b）∈Ω}，…（10分）
即圖中的陰影部分．
∴函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率P（A）=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{Ω}}$=$\frac{2π}{8}=\frac{π}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法、幾何概型的合理運(yùn)用．