【題目】已知直線l1經(jīng)過點A(﹣3,0),B(3,2),直線l2經(jīng)過點B,且l1⊥l2
(1)求經(jīng)過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程;
(2)設直線l2與直線y=8x的交點為C,求△ABC外接圓的方程.

【答案】
(1)解:設經(jīng)過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線為m,

①當直線m經(jīng)過原點時,在兩坐標軸上的截距都為零,符合題意.

此時,直線m的方程為y= x;

②當直線m不經(jīng)過原點時,設方程為 ,

將點B(3,2)代入,得 ,解之得a=5,

此時直線m的方程為 ,化簡得x+y﹣5=0.

綜上所述,直線m方程為y= x或x+y﹣5=0,即為所求直線的方程


(2)解:∵直線l1經(jīng)過點A(﹣3,0),B(3,2),

∴直線l1的斜率k1= = ,

∵l1⊥l2,∴直線l2的斜率k2= =﹣3.

又∵直線l2經(jīng)過點B(3,2),

∴直線l2的方程為y﹣2=﹣3(x﹣3),即y=﹣3x+11,

聯(lián)解,得 ,可得直線l2與直線y=8x的交點為C(1,8).

設經(jīng)過A、B、C三點的圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

可得 ,解之得 ,

∴經(jīng)過A、B、C三點的圓方程為x2+y2+2x﹣8y﹣3=0,即為△ABC外接圓的方程


【解析】(1)根據(jù)直線經(jīng)過原點或不經(jīng)過原點,分兩種情況加以討論,利用直線在坐標軸上截距的概念和直線方程的截距式,即可算出滿足條件的直線方程;(2)由A、B的坐標算出直線l1的斜率k1= ,從而得到l2的斜率k2= =﹣3,利用點斜式列式可得直線l2的方程為y=﹣3x+11.聯(lián)解直線l2與直線y=8x,算出交點為C(1,8),設△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A、B、C的坐標解出D、E、F的值,即可得到所求△ABC外接圓的方程.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解截距式方程的相關知識,掌握直線的截距式方程:已知直線軸的交點為A,與軸的交點為B,其中,以及對圓的標準方程的理解,了解圓的標準方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.

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