Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)，.若函數(shù)的最小值是，求的值；

（3）若函數(shù)，的定義域都是，對于函數(shù)的圖象上的任意一點，在函數(shù)的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1（3）

【解析】試題分析：

(1) 當時，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間為 ；

(2) ，令得，

函數(shù)在上單調(diào)減；函數(shù)在上單調(diào)增．

所以．分類討論：

①當時，；

②當時，解得（舍）．

綜上所述，的值為1．

(3)由題意可知函數(shù)在上單調(diào)增，故．

所以，即在上恒成立，

構造函數(shù)：設，設，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得，的取值范圍為．

試題解析：

解:(1) 當時，，．

因為在上單調(diào)增，且，

所以當時，；當時，．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．

（2），則，令得，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)減；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)增．

所以．

①當，即時，

函數(shù)的最小值，

即，解得或（舍），所以；

②當，即時，

函數(shù)的最小值，解得（舍）．

綜上所述，的值為1．

（3）由題意知，，．

考慮函數(shù)，因為在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)增，故．

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立．

設，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)減，所以．

設，

則在上恒成立，

所以在上單調(diào)增，所以．

綜上所述，的取值范圍為．