Question

3．已知函數(shù)y=log_a（x-3）-1（a＞0且a≠1）圖象過定點(diǎn)P，當(dāng)直線mx-ny-1=0（m＞0，n＞0）過點(diǎn)P時(shí)，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得P（4，-1），進(jìn)而可得4m+n=1，由基本不等式，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：當(dāng)x=4時(shí)，y=log_a（x-3）-1=-1恒成立，
故函數(shù)y=log_a（x-3）-1（a＞0且a≠1）圖象過定點(diǎn)P（4，-1），
由直線mx-ny-1=0（m＞0，n＞0）過點(diǎn)P得：
4m+n=1，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（4m+n）=4+1+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為9，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值及其幾何意義，利用基本不等式求函數(shù)的最值，難度中檔．