Question

20．已知曲線(xiàn)f（x）=a^x-1+1（a＞1）恒過(guò)定點(diǎn)A，點(diǎn)A恰在雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A恰在雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)上，得出$\frac{a}$=2，即可求出雙曲線(xiàn)C的離心率．

解答 解：曲線(xiàn)f（x）=a^x-1+1（a＞1）恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），
∵點(diǎn)A恰在雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)上，
∴$\frac{a}$=2，
∴b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，確定A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．