Question

10．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）

• A． c^a＞c^b
• B． a^c＜b^c
• C． $\frac{a}{a-c}＞\frac{b-c}$
• D． log_ac＞log_bc

Answer 1

分析 根據題意，依次分析選項：對于A、構造函數y=c^x，由指數函數的性質分析可得A錯誤，對于B、構造函數y=x^c，由冪函數的性質分析可得B錯誤，對于C、由作差法比較可得C錯誤，對于D、由作差法利用對數函數的運算性質分析可得D正確，即可得答案．

解答 解：根據題意，依次分析選項：
對于A、構造函數y=c^x，由于0＜c＜1，則函數y=c^x是減函數，又由a＞b＞1，則有c^a＞c^b，故A錯誤；
對于B、構造函數y=x^c，由于0＜c＜1，則函數y=x^c是增函數，又由a＞b＞1，則有a^c＞b^c，故B錯誤；
對于C、$\frac{a}{a-c}$-$\frac{b-c}$=$\frac{ab-ac-ab+bc}{（a-c）（b-c）}$=$\frac{c（b-a）}{（a-c）（b-c）}$，又由0＜c＜1，a＞b＞1，則（a-c）＞0、（b-c）＞0、（b-a）＜0，進而有$\frac{a}{a-c}$-$\frac{b-c}$＜0，故有$\frac{a}{a-c}$＜$\frac{b-c}$，故C錯誤；
對于D、log_ac-log_bc=$\frac{lgc}{lga}$-$\frac{lgc}{lgb}$=lgc（$\frac{lgb-lga}{lga•lgb}$），又由0＜c＜1，a＞b＞1，則有l(wèi)gc＜0，lga＞lgb＞0，則有l(wèi)og_ac-log_bc=$\frac{lgc}{lga}$-$\frac{lgc}{lgb}$=lgc（$\frac{lgb-lga}{lga•lgb}$）＞0，即有l(wèi)og_ac＞log_bc，故D正確；
故選：D．

點評 本題考查不等式比較大小，關鍵是掌握不等式的性質并靈活運用．