Question

19．函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），滿足對于任意x，y＞0，有 f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（4）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）令x=y＞0，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$，
因?yàn)閤₂＞x₁＞0，所以$\frac{x_2}{x_1}$＞1⇒$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由$f（x+3）-f（\frac{1}{3}）＜2$，得f（3x+9）＜f（36），
所以$\left\{\begin{array}{l}x+3＞0\\ 3x+9＜36\end{array}\right.$⇒-3＜x＜9
所以原不等式的解為（-3，9）．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以及利用賦值法是解決抽象函數(shù)的關(guān)鍵．