Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-3x-1，x≤0}\end{array}\right.$ 若函數(shù)y=f（x）-kx只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，e）
• C． （-1，e）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)，分段討論即可，當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=kx，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出兩個(gè)負(fù)根的k的取值范圍，再求出當(dāng)x＞0時(shí)，指數(shù)函數(shù)和y=kx沒(méi)有交點(diǎn)的情況，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-3x-1，x≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=kx，
得-x²-3x-1=kx，
即x²+（3+k）x+1=0，
∴△=（3+k）²-4＞0，且3+k＞0
解得k≥-1，
此時(shí)=f（x）-kx有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，
則k＜1，
綜上所述-1＜k＜1，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．