【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直, ,,點在線段上.

() 若點的中點,求證:平面

() 求證:平面平面;

() 當平面與平面所成二面角的余弦值為時,求的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).

【解析】

(1)建立空間直角坐標系,利用空間向量的結論可證得BM⊥平面ADEF的法向量,從而可證得線面平行;

(2)分別求得平面,平面的法向量,由法向量的數(shù)量積為0可證得面面垂直;

(3),由題意可得點M的坐標,分別求得兩個半平面的法向量,由二面角的余弦值得到關于的方程,解方程求得的值即可確定的長.

(1)∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD為交線,

ED⊥平面ABCD,由已知得DADE,DC兩兩垂直,

如圖建系D-xyz,可得D(0,0,0)A(1,0,0),B(1,10),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,1).

MC的中點,知,故.

易知平面ADEF的法向量為

,

BM平面ADEF,∴BM//平面ADEF.

(2)(1),

設平面BDE的法向量為

平面BEC的法向量為,

,

,

,故平面BDE⊥平面BEC.

(3),設,計算可得,

,

設平面BDM的法向量為

,

易知平面ABF的法向量為

由已知得 ,

解得,此時,

,則,即AM的長為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖所示,在直三棱柱中,D點為棱AB的中點.

求證:平面;

,,求二面角的余弦值;

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乙教師分數(shù)頻數(shù)分布表

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

3

3

15

19

35

25

(1)在抽樣的100人中,求對甲教師的評分低于70分的人數(shù);

(2)從對乙教師的評分在范圍內的人中隨機選出2人,求2人評分均在范圍內的概率;

(3)如果該校以學生對老師評分的中位數(shù)是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標準,則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優(yōu)秀教師?(精確到0.1)

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【題目】為發(fā)揮體育在核心素養(yǎng)時代的獨特育人價值,越來越多的中學已將某些體育項目納入到學生的必修課程,甚至關系到是否能拿到畢業(yè)證.某中學計劃在高一年級開設游泳課程,為了解學生對游泳的興趣,某數(shù)學研究性學習小組隨機從該校高一年級學生中抽取了100人進行調查,其中男生60人,且抽取的男生中對游泳有興趣的占,而抽取的女生中有15人表示對游泳沒有興趣.

(1)試完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“對游泳是否有興趣與性別有關”?

有興趣

沒興趣

合計

男生

女生

合計

(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的學生,其中3名對游泳有興趣,現(xiàn)在從這6名學生中隨機抽取3人,求至少有2人對游泳有興趣的概率.

(3)該研究性學習小組在調查中發(fā)現(xiàn),對游泳有興趣的學生中有部分曾在市級和市級以上游泳比賽中獲獎,如下表所示.若從高一(8)班和高一(9)班獲獎學生中各隨機選取2人進行跟蹤調查,記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

班級

市級比賽

獲獎人數(shù)

2

2

3

3

4

4

3

3

4

2

市級以上比賽獲獎人數(shù)

2

2

1

0

2

3

3

2

1

2

0.500

0.400

0.250

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

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1)按分層抽樣的方法從質量在,的臍橙中隨機抽取5個,再從這5個臍橙中隨機抽取2個,求這2個臍橙質量至少有一個不小于400克的概率;

2)以各組數(shù)據的中間數(shù)值代替這組數(shù)據的平均值,以頻率代替概率,已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個臍橙待出售,某電商提出兩種收購方案:

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請你通過計算為該村選擇收益較好的方案.

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