Question

2．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=5，S₁₀=120．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出$_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂項(xiàng)求和法能證明${T_n}＜\frac{1}{6}$．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=5\\{S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×（10-1）}{2}d=120\end{array}\right.$，…2
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$…4
所以a_n=3+（n-1）×2=2n+1．…6
證明：（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$…8
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+$…$+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$…10
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{6}-\frac{1}{2（2n+3）}$…12
$＜\frac{1}{6}$．…13

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．