Question

20．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	2		-2	0

（1）請將上表數(shù)據補充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據最值求得A，由周期求得ω，五點法做函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，得出結論．

解答 解：（1）補充表格：
由于最大值為2，最小值為-2，故A=2．
$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
再根據五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，
故g（x）的單調遞減區(qū)間為[得4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，屬于中檔題．