Question

8．已知f（x）是R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），0≤x＜1}\\{1-|x-3|，x≥1}\end{array}\right.$則函數y=f（x）+$\frac{1}{2}$的所有零點之和是（　　）

• A． 1-$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 5-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-5

Answer 1

分析 根據分段函數和奇函數的性質分別求出每段上的零點，再求其和即可．

解答 解：當x≥1時，
則1-|x-3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\frac{9}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$，
當0≤x＜1時，則log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，
∵f（x）為奇函數，
∴當-1＜x＜0時，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），則-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
當x≤-1時，f（x）=-1+|x+3|，則-1+|x+3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=-$\frac{7}{2}$或x=-$\frac{5}{2}$，
故所有的零點之和為$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-1-$\frac{7}{2}$-$\frac{5}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
故選：B

點評 本題考查了函數的零點和分段函數以及奇函數的性質，屬于中檔題．