Question

7．如圖，棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點A在平面α內(nèi)，平面ABCD與平面α所成的二面角為30°，則頂點C₁到平面α的距離的最大值是（　　）

• A． 2（2+$\sqrt{2}$）
• B． 2（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）
• C． 2（$\sqrt{3}$+1）
• D． 2（$\sqrt{2}$+1）

Answer 1

分析 如圖所示，O在AC上，C₁O⊥α，垂足為E，則C₁E為所求，∠OAE=30°，由題意，設(shè)CO=x，則AO=4$\sqrt{2}$-x，由此可得頂點C₁到平面α的距離的最大值．

解答 解：如圖所示，AC的中點為O，C₁O⊥α，
垂足為E，則C₁E為所求，∠AOE=30°
由題意，設(shè)CO=x，則AO=4$\sqrt{2}$-x，
C₁O=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，OE=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
∴C₁E=$\sqrt{16+{x}^{2}}$+2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
令y=$\sqrt{16+{x}^{2}}$+2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
則y′=$\frac{x}{\sqrt{16+{x}^{2}}}$-$\frac{1}{2}$=0，可得x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，頂點C₁到平面α的距離的最大值是2（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．
故選：B．

點評 本題考查頂點C₁到平面α的距離的最大值，考查學(xué)生的計算能力，正確作圖是關(guān)鍵．