Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F(xiàn)為BB₁上一點，D為BC的中點，且BF=2BD．
（1）當(dāng)

BF

FB1

為何值時，對于AD上任意一點總有EF⊥FC₁；
（2）若A₁B₁=3，C₁F與平面AA₁B₁B所成角的正弦值為

4 10

15

，當(dāng)

BF

FB1

在（1）所給的值時，求三棱柱的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出C₁F⊥DF，Rt△BDF≌Rt△B₁FC₁，由此推導(dǎo)出

BF

B1F

=2．
（2）在平面A₁B₁C₁中，過C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，連FG，則∠C₁FG就是C₁F與側(cè)面AA₁B₁B所成的角，由此能求出三棱柱的體積．

解答： （1）∵對于AD上任意一點總有EF⊥FC₁，
∴C₁F⊥平面ADF，
∴C₁F⊥DF，
∵D為BC的中點，且BF=2BD，
∴BF=B₁C₁，∠B₁FC₁=∠BDF，∠FB₁C₁=∠DBF，
∴Rt△BDF≌Rt△B₁FC₁，
∴B₁F=BD=

1

2

BF，∴

BF

B1F

=2．（6分）
（2）在平面A₁B₁C₁中，過C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，連FG，
則∠C₁FG就是C₁F與側(cè)面AA₁B₁B所成的角，（8分）
則有

C1G

C1F

=

4 10

15

，C₁G=

4 10

15

C₁F，
△A₁B₁C₁中，取B₁C₁的中點D₁，連A₁D₁，
設(shè)B₁F=x，由C₁G•A₁B₁=B₁C₁•A₁D₁，
解得x=1，∴BB₁=3，（10分）
∴三棱柱的體積V=

1

2

B₁G•A₁D₁•BB₁=6

2

．（12分）

點評：本題考查滿足條件的線段的比值的求法，考查三飄棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．