Question

1．若函數(shù)f（x）=kx-e^x有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． k＜0
• B． k≥e
• C． k≥e或k＜0
• D． 0＜k≤e

Answer 1

分析 原題等價(jià)于函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，求導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，可得值域，可得答案．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，可得f（0）=-1，故x=0不是函數(shù)的零點(diǎn)；
當(dāng)x≠0時(shí)，由函數(shù)f（x）=kx-e^x有零點(diǎn)可得kx=e^x有解，
即k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，故k的取值范圍為函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，
∵y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令y′＜0可得x＜1，故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)值g（x）＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（1）為函數(shù)的最小值，且g（1）=e，故g（x）≥e，
綜上可得g（x）的取值范圍為g（x）＜0或g（x）≥e，
故k的取值范圍為：k＜0或k≥e．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．