Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF,∠BCF=∠CEF=

90°,AD=,EF=2,

（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°?

Answer 1

方法一：

（Ⅰ）證明：過點(diǎn)E做EG⊥CF交CF于G，連接DG，

可得四邊形BCGE為矩形，

又ABCD為矩形，

所以AD∥EG且AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，

故AE∥DG。

因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，

所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：過點(diǎn)B做BH⊥EF交FE的延長線與H，連接AH。

         由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得

         AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF，

         所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角。

         在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=，EF=2，所以∠CFE=60º，F(xiàn)G=1.

         又因?yàn)镃E⊥EF，所以CF=4，

         從而BE=CG=3，

         于是BH=BE?sin∠BEH=。

        因?yàn)锳B=BH?tan∠AHB，

         所以當(dāng)AB為時，二面角A-EF-C的大小為60º。

方法二：

         如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別作為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

         設(shè)AB=，BE=，CF=，

         則，，，，

（Ⅰ）證明：，，，

         所以，，從而CB⊥AE，CB⊥BE，

         所以CB⊥平面ABE。

         因?yàn)镃B⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，

         故AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：因?yàn)?sub>，，

         所以，，

從而，解得，，

所以，。

設(shè)與平面AEF垂直，

則，

解得

又因?yàn)锽A⊥平面BEFC，

所以，

得。

所以當(dāng)AB為時，二面角A-EF-C的大小為60º。