【題目】已知矩形ABCD與直角梯形ABEF,∠DAF=∠FAB=90°,點G為DF的中點,AF=EF= ,P在線段CD上運動.
(1)證明:BF∥平面GAC;
(2)當(dāng)P運動到CD的中點位置時,PG與PB長度之和最小,求二面角P﹣CE﹣B的余弦值.

【答案】
(1)證明:連接BD交AC于M,連MG,M為BD的中點.

∴MG為△BFD的中位線,

∴GM∥BF,而BF平面GAC,MG平面GAC,

∴BF∥平面GAC


(2)解:延遲AD至N,使DN=DG,連PN,PG,則△PDG≌△PDN,∴PG=PN

當(dāng)P、B、N三點共線時,PG與PB長度之和最小,即PG與PB長度之和最小

∵P為CD中點,∴AD=DN.

在△ADF中,AD2+AF2=4DG2=4AD2,∴AD=1

AD,AB,AF兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

∴D(0,0,1),E( , ,0),B(0,2 ,0),C(0,2 ,1),

=( ,﹣ ,﹣1), =(0,0,1), =(0,2 ,0)

設(shè) =(x,y,z)為平面PCE的一個法向量,

令x=1,y=0,z=

同理可得平面BCE的一個法向量 =(1,1,0),

設(shè)二面角P﹣CE﹣B的大小為θ,θ為鈍角,

∴cosθ=﹣ = ,

∴求二面角P﹣CE﹣B的余弦值:﹣


【解析】(1)連接BD交AC于M,連MG,M為BD的中點,證明GM∥BF,即可證明BF∥平面GAC.(2)延遲AD至N,使DN=DG,連PN,PG,說明當(dāng)P、B、N三點共線時,PG與PB長度之和最小,AD,AB,AF兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),求出平面PCE的一個法向量,平面BCE的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人,女生10000人,該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運動狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計他們平均每天運動的時間,如下表:(平均每天運動的時間單位:小時,該校學(xué)生平均每天運動的時間范圍是).

男生平均每天運動時間分布情況:

女生平均每天運動時間分布情況:

(1)請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運動的時間(結(jié)果精確到0.1);

(2)若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學(xué)生為“運動達(dá)人”,低于2小時的學(xué)生為“非運動達(dá)人”.

①請根據(jù)樣本估算該!斑\動達(dá)人”的數(shù)量;

②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否為‘運動達(dá)人’與性別有關(guān)?”

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程;

(2)若,求的值域.

【答案】(1)對稱軸為,最小正周期;(2)

【解析】

(1)利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡得到,由周期公式和對稱軸公式可得答案;(2)由x的范圍得到,由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域.

(1)

,則

的對稱軸為,最小正周期;

(2)當(dāng)時,,

因為單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

取最大值,在取最小值,

所以,

所以

【點睛】

本題考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì),考查周期性,對稱性,函數(shù)值域的求法,考查二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知等比數(shù)列的前項和為,公比,,

(1)求等比數(shù)列的通項公式;

(2)設(shè),求的前項和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC中,ABBC,BABC,BD是邊AC上的高,沿BDABC折起,當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時,該三棱錐外接球表面積為( 。

A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求a的值和函數(shù)f(x)的定義域;

(2)解不等式f(-m2+2m-1)+f(m2+3)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓Cx2+y2+kx+2y+k20,過點P1,﹣1)可作圓的兩條切線,則實數(shù)k的取值范圍是_____

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】Ⅰ)如表所示是某市最近5年個人年平均收入表節(jié)選.求y關(guān)于x的回歸直線方程,并估計第6年該市的個人年平均收入(保留三位有效數(shù)字).

年份x

1

2

3

4

5

收入y(千元)

21

24

27

29

31

其中,, 1:= ,=

Ⅱ)下表是從調(diào)查某行業(yè)個人平均收入與接受專業(yè)培訓(xùn)時間關(guān)系得到2×2列聯(lián)表:

受培時間一年以上

受培時間不足一年

總計

收入不低于平均值

60

20

收入低于平均值

10

20

總計

100

完成上表,并回答:能否在犯錯概率不超過0.05的前提下認(rèn)為收入與接受培訓(xùn)時間有關(guān)系”.

2:

PK2k0

0.50

0.40

0.10

0.05

0.01

0.005

k0

0.455

0.708

2.706

3.841

6.635

7.879

3:

K2=.(n=a+b+c+d

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋子中有四張卡片,分別寫有“瓷、都、文、明”四個字,有放回地從中任取一張卡片,將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件,用隨機(jī)模擬的方法估計事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個隨機(jī)數(shù),分別代表“瓷、都、文、明”這四個字,以每三個隨機(jī)數(shù)為一組,表示取卡片三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):

232

321

230

023

123

021

132

220

001

231

130

133

231

031

320

122

103

233

由此可以估計事件發(fā)生的概率為(

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)在,很多人都喜歡騎“共享單車”,但也有很多市民并不認(rèn)可.為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度,某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民,得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本,具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表

附:

根據(jù)表中的數(shù)據(jù),下列說法中,正確的是(

A. 沒有95% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

B. 有99% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

C. 可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

D. 可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

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同步練習(xí)冊答案