Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-2ax）lnx+bx²，a，b∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，設(shè)g（x）=（x-1）²lnx+x，求證：對(duì)任意的x＞1，g（x）-f（x）＞x²+x+e-e²；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，若對(duì)任意x∈[1，+∞），不等式2f（x）＞3x²+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等價(jià)于e^x+lnx-e＞0，令h（x）=e^x+lnx-e，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論；
（2）不等式2f（x）＞3x²+a等價(jià)于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，構(gòu)造函數(shù)，先求出a的范圍，再驗(yàn)證即可．

解答 （1）證明：當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，f（x）=（x²-2x）lnx-x²，
所以g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等價(jià)于e^x+lnx-e＞0，
令h（x）=e^x+lnx-e，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（1），即e^x+lnx＞e，亦即e^x+lnx-e＞0；
（2）解：當(dāng)b=2時(shí)，f（x）=（x²-2ax） lnx+2x²，a∈R，
所以不等式2f（x）＞3x²+a等價(jià)于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，
令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
則p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0在[1，+∞）上恒成立，所以p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
又p（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），
顯然當(dāng)a＜1時(shí)，p（x）＞0，則函數(shù)p（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以p（x）_min=p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
綜上可知a的取值范圍為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的問(wèn)題，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．