Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題（1）利用，化簡(jiǎn)函數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求解是的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程的斜率，即可求解切線方程．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為，得到極值點(diǎn)，然后①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)，⑤當(dāng)，分別求解函數(shù)的單調(diào)性推出最值，解得的取值范圍．第（2）問另解：當(dāng)時(shí)的最大值為，等價(jià)于對(duì)于恒成立，轉(zhuǎn)化的函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用增函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最值即可．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（2）

令 得

①當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增

當(dāng)，

②當(dāng),即時(shí)，在遞減，在遞增

解得所以

③當(dāng),即時(shí)，在遞減，

④當(dāng),即時(shí)，在遞減，在遞增

解得所以

⑤當(dāng)即時(shí)，在遞增，不合題意

綜上所述：的取值范圍為

第（2）問另解：

當(dāng)時(shí)的最大值為，等價(jià)于對(duì)于恒成立

可化為對(duì)于恒成立

令

于是在遞增，在遞減

的取值范圍為