Question

13．有一條筆直的河流，倉(cāng)庫A到河岸所在直線MN的距離是10km，AC⊥MN于C，碼頭B到C的距離為20km．現(xiàn)有一批貨物要從A運(yùn)到B．已知貨物走陸路時(shí)，單位里程的運(yùn)價(jià)是水路的2倍，貨物走陸路到達(dá)D后再由水路到達(dá)B，問點(diǎn)D應(yīng)選在離C多遠(yuǎn)處才能使總運(yùn)費(fèi)最低？

Answer 1

分析 設(shè)CD=x，運(yùn)費(fèi)為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)，求出此函數(shù)的極小值點(diǎn)即可．

解答 解：設(shè)CD=x，則AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{100+{x}^{2}}$．
設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，水路運(yùn)費(fèi)為a元/km，
則y=（20-x）a+2a$\sqrt{100+{x}^{2}}$=a[2$\sqrt{100+{x}^{2}}$-x+20]，（0≤x≤20）．
令t=2$\sqrt{100+{x}^{2}}$-x，則y=a（t+20），
則（x+t）²=4（100+x²），
∴3x²-2xt+400-t²=0，
∴△=4t²-12（400-t²）≥0，
解得t≥10$\sqrt{3}$或t≤-10$\sqrt{3}$（舍）．
∴當(dāng)t=10$\sqrt{3}$時(shí)，y取得最小值．
把t=10$\sqrt{3}$代入3x²-2xt+400-t²=0得3x²-20$\sqrt{3}$x+100=0，
解得x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
∴當(dāng)CD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$km時(shí)總運(yùn)費(fèi)最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．