Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，E是圓O中直徑CF延長線上一點(diǎn)，弦AB⊥CF，AE交圓O于P，PB交CF于D，連接AO、AD．求證：
（Ⅰ）∠E=∠OAD；
（Ⅱ）OF²=OD•OE．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件，結(jié)合圖形知∠E=∠APD-∠PDE，∠OAD=∠APD-∠ADC，再由垂徑定理能證明∠E=∠OAD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出△AOD∽△EOA，由此能夠證明OF²=OD•OE．

解答： （本小題滿分10分）
證明：（Ⅰ）∵E是圓O中直徑CF延長線上一點(diǎn)，弦AB⊥CF，
∴∠CDB=∠ADC，∠AOC=∠APD，
∵∠E=∠APD-∠PDE，
∠OAD=∠AOC-∠ADC=∠APD-∠ADC，
∠PDE=∠CDB=∠ADC，
∴∠E=∠OAD．
（Ⅱ）∵∠E=∠OAD，∠AOD=∠EOA，
∴△AOD∽△EOA，
∴

OA

OE

=

OD

OA

，即OA²=OD•OE，
又∵OA=OF，∴OF²=OD•OE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角相等的證明，考查等式成立的證明，解題時(shí)要注意垂徑定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，是中檔題．