Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+bx²+cx，g（x）=mx²+

15

4

x-9
（1）當a=3，b=c=0時，若存在過點（1，0）的直線與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切，求實數(shù)m的值；
（2）當b＞a＞0時，函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，求

a+b+c

b-a

的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，求得切線的斜率，運用兩點的斜率公式和點在曲線上的條件，解方程即可得到；
（2）由題意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，將此代入求

a+b+c

b-a

，將式子進行放縮，以

b

a

為單位建立函數(shù)關(guān)系式，最后構(gòu)造出運用基本不等式的模型使問題得到解決．

解答： 解：（1）當a=3，b=c=0時，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2mx+

15

4

，
設(shè)過點（1，0）的切線與y=f（x）的切點為（e，f），
與y=g（x）的切點為（s，t），
則3e²=2ms+

15

4

，
由e³=f，3e²=

f

e-1

=

e3

e-1

，解得e=0或

3

2

，
則切線的方程為y=0或y=

27

4

（x-1）．
若e=0，則ms=-

15

8

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=0，
解得t=0，s=

24

5

，m=-

25

64

；
若e=

3

2

，則ms=

3

2

，且t=ms²+154s-9，

t

s-1

=

27

4

，
解得s=-

3

2

，m=-1．
綜上可得，m=-

25

64

或m=-1．
（2）由題意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，
則a＞0，△=b²-4ac≤0即有ac≥

1

4

b²，
即有

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

4+ 4b a + b2 a2

4( b a -1)

，
令t=

b

a

（t＞1），

a+b+c

b-a

≥

4+4t+t2

4(t-1)

=

1

4

（t-1+

9

t-1

+6）≥

1

4

×（2

9

+6）=3．
（當且僅當t=4，即b=c=4a時取“=”）
即有

a+b+c

b-a

的最小值為3．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，同時考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，正確設(shè)出切點和求出導(dǎo)數(shù)，運用兩點的斜率公式以及運用基本不等式是解題的關(guān)鍵．