Question

10．已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函數(shù)$f（x）=\frac{x}{[x]}-m$（x≥1）有且僅有三個零點，則m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{3}{2}，2}]$
• B． $[{\frac{3}{2}，2}）$
• C． $[{\frac{5}{4}，\frac{4}{3}}）$
• D． $[{\frac{5}{4}，\frac{4}{3}}]$

Answer 1

分析 由f（x）=0得 $\frac{x}{[x]}$=m，令g（x）=$\frac{x}{[x]}$，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結合即可得到a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{x}{[x]}$-m=0得：$\frac{x}{[x]}$=m，
當1≤x＜2，[x]=1，此時g（x）=x，此時1≤g（x）＜2，
當2≤x＜3，[x]=2，此時g（x）=$\frac{1}{2}x$，此時1≤g（x）＜$\frac{3}{2}$，
當3≤x＜4，[x]=3，此時g（x）=$\frac{1}{3}x$，此時≤1g（x）＜$\frac{4}{3}$，
當4≤x＜5，[x]=4，此時g（x）=$\frac{1}{4}$x，此時1≤g（x）＜$\frac{5}{4}$，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使函數(shù)$f（x）=\frac{x}{[x]}-m$（x≥1）有且僅有三個零點，
即函數(shù)g（x）=m有且僅有三個零點，
則由圖象可知$\frac{5}{4}$≤m$＜\frac{4}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關系構造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．難度較大．