已知向量
a
=(cos
3
x,sin
3
x),
b
=(cosx,sinx)(0<x<π).設函數(shù)f(x)=
a
b
,且f(x)+f'(x)為偶函數(shù).
(1)求x的值;
(2)求f(x)的單調增區(qū)間.
分析:(1)首先利用向量求得f(x),然后求出函數(shù)f(x)的導數(shù),進而表示出f(x)+f'(x),再根據(jù)偶函數(shù)的定義求出結果;
(2)由(1)得出f(x)=cos(
3
x-
π
3
),再由余弦的單調性求出增區(qū)間即可.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
=cos
3
xcos?+sin
3
xsin?=cos(
3
x-?),
所以f(x)+f'(x)=cos(
3
x-?)-
3
sin(
3
x-?)=2cos(
3
x-?+
π
3
),
而f(x)+f'(x)為偶函數(shù),則有-?+
π
3
=kπ,k∈Z,又0<?<π,則k=0,即?=
π
3

(2)由(1)得f(x)=cos(
3
x-
π
3
),由2kπ-π≤
3
x-
π
3
≤2kπ,
解得
1
3
(2kπ-
3
)≤x≤
1
3
(2kπ+
π
3
),
即此函數(shù)的單調增區(qū)間為[
2
3
3
kπ-
2
3
9
π,
2
3
3
kπ+
3
9
π]
(k∈Z).
點評:本題考查了三角函數(shù)的化簡、余弦的單調性以及偶函數(shù)的定義,平時要牢記三角函數(shù)的奇偶性和單調性,屬于基礎題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosα,1),
b
=(-2,sinα),α∈(π,
2
)
,且
a
b

(1)求sinα的值;
(2)求tan(α+
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos(-θ),sin(-θ)),
b
=(cos(
π
2
-θ),sin(
π
2
-θ))

(1)求證:
a
b

(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t,使
x
=
a
+(t2+3)
b
y
=(-k
a
+t
b
),滿足
x
y
,試求此時
k+t2
t
的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量
b
=(
3
,1),b=(
3
,1)
,
a
b
,則θ=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosα,sinα),
b
=(sinβ,-cosβ),則|
a
+
b
|最大值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),向量
b
=(2
2
,-1),則|3
a
-
b
|的最大值是
 

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