Question

4．已知$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（-3，4），\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b（λ∈R）$．
（1）λ何值時，$|\overrightarrow c|$最��？此時$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$的位置關(guān)系如何？
（2）λ何值時，$\overrightarrow c$與$\overrightarrow a$的夾角的余弦值最大？此時$\overrightarrow c$與$\overrightarrow a$的位置關(guān)系如何？

Answer 1

分析 （1）可求得$\overrightarrow{c}=（1-3λ，2+4λ）$，從而得到${\overrightarrow{c}}^{2}=25{λ}^{2}+10λ+5$，配方即可求出$λ=-\frac{1}{5}$時$|\overrightarrow{c}|$最小，并判斷出此時$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow$；
（2）根據(jù)向量夾角的范圍及余弦函數(shù)的最大值便可得出$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞=\frac{5（λ+1）}{\sqrt{5}\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}=1$，從而求得λ=0，即得出λ=0時，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值最大，并得出此時$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}=（1，2）+λ（-3，4）=（1-3λ，2+4λ）$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=（1-3λ）^{2}+（2+4λ）^{2}$
=25λ²+10λ+5
=$25（λ+\frac{1}{5}）^{2}+4$；
∴$λ=-\frac{1}{5}$時，${\overrightarrow{c}}^{2}$最小，$|\overrightarrow{c}|$最�。�
此時，$\overrightarrow{c}=（\frac{8}{5}，\frac{6}{5}）$；
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow=-\frac{24}{5}+\frac{24}{5}=0$；
∴$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角的余弦值最大為1，即$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞=\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|}=\frac{5（λ+1）}{\sqrt{5}\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}=1$；
解得λ=0；
∴λ=0時，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值最大，此時$\overrightarrow{c}=（1，2）=\overrightarrow{a}$．

點評 考查向量坐標的加法和數(shù)乘運算，向量坐標的數(shù)量積運算，配方求二次函數(shù)最值的方法，向量垂直的充要條件，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．