Question

12．直線l交橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1于A，B兩點，AB的中點為M（2，1），則直線l的方程為3x+2y-8=0．

Answer 1

分析 利用“點差法”可求得直線AB的斜率，再利用點斜式即可求得直線l的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，1）是線段AB的中點，
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2；
依題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1①}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得：$\frac{1}{16}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=$\frac{1}{12}$（y₁+y₂）（y₂-y₁），
由題意知，直線l的斜率$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{{{y}_{1}+y}_{2}}$存在，
∴k_AB=$\frac{{{y}_{2}-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$×$\frac{{x}_{2}{+x}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$，
∴直線l的方程為：y-1=-$\frac{3}{2}$（x-2），
整理得：3x+2y-8=0，
故答案為：3x+2y-8=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與直線的點斜式方程，求直線l的斜率是關(guān)鍵，也是難點，著重考查點差法，屬于中檔題．