Question

6．對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列{a_n}，記b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k為a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并稱數(shù)列{b_k}是{a_n}的控制數(shù)列．如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5．
（I）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有符合條件的數(shù)列{a_n}；
（II）設m=100，若a_n=|2n-4|，{b_n}是{a_n}的控制數(shù)列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（III）設{b_n}是{a_n}的控制數(shù)列，滿足a_k+b_m-k+1=C（C為常數(shù)，k=1，2，…，m）．
求證：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)控制數(shù)列的定義，進行列舉即可得到數(shù)列{a_n}；
（Ⅱ）確定b₁=a₁=2，a₂=0，b₂=2，n≥3時，總有b_n=a_n，從而求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（Ⅲ）依題意可得b_k+1≥b_k，根據(jù)a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，證明a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即證得結論．

解答 解：（I）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，
則數(shù)列{a_n}可能為：
①2，3，4，5，1；
②2，3，4，5，2；
③2，3，4，5，3；
④2，3，4，5，4；
⑤2，3，4，5，5．…（2分）
（II）∵a_n=|2n-4|，{b_n}是{a_n}的控制數(shù)列，
∴b₁=a₁=2，a₂=0，b₂=2．
當n≥3時，b_n=a_n，
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=2．…（5分）
證明：（III）因為b_k=max{a₁，a₂，…a_k}，
b_k+1=max{a₁，a₂，…a_k，a_k+1}，
所以b_k+1≥b_k．…（6分）
因為a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
所以a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，
即a_k+1≥a_k．…（7分）
因此，b_k=a_k．…（8分）

點評 本題考查數(shù)列的應用，考查對抽象概念的理解與綜合應用的能力，屬于中檔題．