Question

8．下列各函數(shù)中，最小值為2的是（　�。�

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}$
• D． y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{{\sqrt{x-1}}}$

Answer 1

分析 直接利用基本不等式的性質(zhì)：“一正，二定，三取等”進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于A：y=x+$\frac{1}{x}$：當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$時(shí)取等號(hào)）；故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B：y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)取等號(hào)），∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx的值取不到1；故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C：$y=\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t，（t＞2）$，則$y=\frac{{t}^{2}+1}{t}$=$t+\frac{1}{t}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，而t≥2
∴$y=\frac{{t}^{2}+1}{t}$最小值是$\frac{5}{2}$；故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D：$y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$：定義域x＞1，∵$\sqrt{x-1}＞0$，$\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，
滿(mǎn)足題意，最小值為2．故D正確
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考了基本不等式的性質(zhì)：“一正，二定，三取等”的運(yùn)用，靈活解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．