【題目】設(shè)函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)若函數(shù)的圖象與軸交于兩點,且,求的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,證明:為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).

【答案】(1);(2);(3)證明見解析.

【解析】

1)求出切線的斜率,利用點斜式寫出直線方程;

2)分析函數(shù)的單調(diào)性,只有當(dāng)函數(shù)不單調(diào)時,函數(shù)圖象才可能與x軸有兩個交點,然后再利用零點存在定理證明兩個不同交點的存在性;

3)由(2)得,相減得,用表示,通過研究單調(diào)性可得,再根據(jù)單調(diào)遞增,可得,從而得證.

解:(1)當(dāng)時,,

, ,

,

所以在點處的切線方程為,即.

(2)因為

所以,

時,則,則函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),與x軸最多一個交點,不滿足題意;

時,令,則,

當(dāng)時,,函數(shù)是單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,函數(shù)是單調(diào)遞增,

于是當(dāng)時,函數(shù)取得極小值,

因為函數(shù)的圖象與軸交于兩點,

所以,即,

此時存在,

存在,

,

故由上的單調(diào)性及曲線連續(xù)性可得,

當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸交于兩點.

3)由(2)得,

兩式相減得,

解得:,

,

,

設(shè)

,

所以上單調(diào)遞減,

則有,而

所以,

由(2)知,均為正數(shù),

所以有,

因為單調(diào)遞增,

所以,

所以,

.

練習(xí)冊系列答案
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