Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足（2b-c）cosA-acosC=0．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式，三角形兩邊之和大于第三邊即可得解△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）將（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，180°），
則A的度數(shù)為60°…6分
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16，…7分
bc≤（$\frac{a+b}{2}$）²，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)等號(hào)成立，…8分
∴16=（b+c）²-3bc≥=（b+c）²-3（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（b+c）²，
∴b+c≤8，…10分
∵b+c＞4，…11分
∴△ABC的周長(zhǎng)取值范圍為：（8，12]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，基本不等式，三角形兩邊之和大于第三邊等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．