【題目】已知函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為單調(diào)減函數(shù);
(3)若關(guān)于x的不等式f(x)+a<0對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)∵f(﹣x)=﹣f(x),

=﹣ ,

解得:m=1


(2)證明:f(x)=1+ ,

設(shè)0<x1<x2

∵f(x1)﹣f(x2)= = ,

又1<2x1<2x2,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0,x2﹣x1>0,

>0,

∴f(x1)>f(x2),

∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞減


(3)解:∵f(x)+a<0對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,

∴a<﹣f(x)對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,

∵f(x)在(0,+∞)遞減,

∴f(x)在[1,3]遞減,

∴f(x)的最大值是f(1)=3,

∴﹣f(x)的最小值是﹣3,

∴a<﹣3


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m的值即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為a<﹣f(x)對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,求出f(x)的最大值,從而求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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A.(0,1)
B.
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D.

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