【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大。
(2)證明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.

【答案】
(1)解:在四棱錐P﹣ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,

∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,

∴AB⊥平面PAD,∴∠APB是PB與平面PAD所成的角,

在Rt△PAB中,AB=PA,∴∠APB=45°,

∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°


(2)證明:在四棱錐P﹣ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA,

由條件AC⊥CD,PA⊥底面ABCD,利用三垂線定理得CD⊥PC,PA∩AC=A,

∴CD⊥面PAC,

又AE面PAC,∴AE⊥CD,

由PA=AB=BC,∠ABC=60°,得AC=PA,

∵E是PC的中點,∴AE⊥PC,

又PC∩CD=C,

綜上,AE⊥平面PCD.


(3)解:過點E作EM⊥PD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AM⊥PD,

∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,

由已知得∠CAD=30°,

設(shè)AC=a,得PA=a,AD= ,PD= ,AE=

在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AMPD=PAAD,

∴AM= = ,

在Rt△AEM中,sin∠AME=

∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值為


【解析】(1)由線面垂直得PA⊥PB,又AB⊥AD,從而AB⊥平面PAD,進而∠APB是PB與平面PAD所成的角,由此能求出PB和平面PAD所成的角的大。2)由線面垂直得CD⊥PA,由條件CD⊥PC,得CD⊥面PAC,由等腰三角形得AE⊥PC,由此能證明AE⊥平面PCD.(3)過點E作EM⊥PD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AM⊥PD,由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.

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