【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大。
(2)證明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
【答案】
(1)解:在四棱錐P﹣ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,
∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,∴∠APB是PB與平面PAD所成的角,
在Rt△PAB中,AB=PA,∴∠APB=45°,
∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°
(2)證明:在四棱錐P﹣ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA,
由條件AC⊥CD,PA⊥底面ABCD,利用三垂線定理得CD⊥PC,PA∩AC=A,
∴CD⊥面PAC,
又AE面PAC,∴AE⊥CD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,得AC=PA,
∵E是PC的中點,∴AE⊥PC,
又PC∩CD=C,
綜上,AE⊥平面PCD.
(3)解:過點E作EM⊥PD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AM⊥PD,
∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,
由已知得∠CAD=30°,
設(shè)AC=a,得PA=a,AD= ,PD= ,AE= ,
在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AMPD=PAAD,
∴AM= = ,
在Rt△AEM中,sin∠AME= .
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值為 .
【解析】(1)由線面垂直得PA⊥PB,又AB⊥AD,從而AB⊥平面PAD,進而∠APB是PB與平面PAD所成的角,由此能求出PB和平面PAD所成的角的大。2)由線面垂直得CD⊥PA,由條件CD⊥PC,得CD⊥面PAC,由等腰三角形得AE⊥PC,由此能證明AE⊥平面PCD.(3)過點E作EM⊥PD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AM⊥PD,由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當時, ,則對任意,函數(shù)的零點個數(shù)至多有( )
A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個
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【題目】小華準備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款全部付清,商場提出的 付款方式為:購買后二個月第一次付款,再過二個月第二次付款…,購買后12個月第六次付款,每次付
款金額相同,約定月利率為0.8%每月利息按復利計算.求小華每期付款的金額是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O是坐標原點,兩定點A,B滿足| |=| |= =2,則點集{P| =x +y ,|x|+|y|≤1,x,y∈R}所表示的區(qū)域的面積是 .
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【題目】如圖是七位評委為甲,乙兩名參賽歌手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m,n為數(shù)字0~9中的一個),則甲歌手得分的眾數(shù)和乙歌手得分的中位數(shù)分別為a和b,則一定有( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b的大小與m,n的值有關(guān)
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【題目】已知f(x)是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(﹣1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0時,有 <0.
(1)解不等式f(x+ )<f(1﹣x);
(2)若f(x)≤t2﹣2at+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+ ),(ω>0,0<φ<π),其中x∈R且圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為 ;
(1)求f(x)的對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求f(x)的最大值、最小值,并指出f(x)取得最大值、最小值時所對應(yīng)的x的集合.
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【題目】有三個游戲規(guī)則如表,袋子中分別裝有形狀、大小相同的球,從袋中無放回地取球,
游戲1 | 游戲2 | 游戲3 |
袋中裝有3個黑球和2個白球 | 袋中裝有2個黑球和2個白球 | 袋中裝有3個黑球和1個白球 |
從袋中取出2個球 | 從袋中取出2個球 | 從袋中取出2個球 |
若取出的兩個球同色,則甲勝 | 若取出的兩個球同色,則甲勝 | 若取出的兩個球同色,則甲勝 |
若取出的兩個球不同色,則乙勝 | 若取出的兩個球不同色,則乙勝 | 若取出的兩個球不同色,則乙勝 |
問其中不公平的游戲是( )
A.游戲2
B.游戲3
C.游戲1和游戲2
D.游戲1和游戲3
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【題目】定義域為R的奇函數(shù)f(x)= ,其中h(x)是指數(shù)函數(shù),且h(2)=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求不等式f(2x﹣1)>f(x+1)的解集.
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