Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²．
（1）若曲線f（x）的一條切線的斜率是2，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程；
（3）求過點(diǎn)（1，-2）處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為f′（t）=2，從而可求出切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出k=f′（-1）的值，得到切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程即可．
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，將（1，-2）代入切線方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程即可．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t²），
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為f′（t）=2t=2，解得t=1，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；
（2）∵f′（x）=2x，
∴k=f′（-1）=-2，
而f（-1）=1，則切點(diǎn)為（-1，1），
∴切線方程為y-1=-2[x-（-1）]，即2x+y+1=0．
（3）由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是（a，a²），
則f′（a）=2a，
故切線方程是：y-a²=2a（x-a），
將（1，-2）代入切線方程得：
-2-a²=2a（1-a），解得：a=1±$\sqrt{3}$，
故切線方程是：y=2（1+$\sqrt{3}$）x-（4+2$\sqrt{3}$）
或y=2（1-$\sqrt{3}$）x-（4-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．