Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$且方程[f（x）]²-af（x）+2=0恰有四個不同的實根，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2$\sqrt{2}$）∪（2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （2$\sqrt{2}$，3）
• C． （2，3）
• D． （2$\sqrt{2}$，4）

Answer 1

分析 作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的圖象，從而化方程[f（x）]²-af（x）+2=0為t²-at+2=0在（1，2]上有兩個不同的根，從而解得．

解答 解：作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的圖象如下，

結合圖象可知，
當1＜b≤2時，f（x）=b有兩個不同的解，
方程[f（x）]²-af（x）+2=0，恰有四個不同的實根，
轉化為t²-at+2=0在（1，2]上有兩個不同的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{1＜\frac{a}{2}＜2}\\{1-a+2＞0}\\{4-2a+2≥0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+2＜0}\end{array}\right.$，
解得，$2\sqrt{2}$＜a＜3，
故選：B．

點評 本題考查了分段函數的應用及數形結合的思想應用，同時考查了二次方程的根的個數的判斷．