Question

13．已知點A，B分別是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右頂點，點P是雙曲線C上異于A，B的另外一點，且△ABP是頂角為120°的等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． $\sqrt{3}$x±y=0
• B． x±$\sqrt{3}$y=0
• C． x±y=0
• D． $\sqrt{2}$x±y=0

Answer 1

分析 設(shè)M在雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左支上，由題意可得M的坐標為（-2a，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線方程可得a=b，再由雙曲線的漸近線方程即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P在雙曲線線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左支上，
且PA=PB=2a，∠PAB=120°，
則P的坐標為（-2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線方程可得，$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
可得a=b，
∴該雙曲線的漸近線方程為x±y=0．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，運用任意角的三角函數(shù)的定義求得P的坐標是解題的關(guān)鍵．