Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax，（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求所有實(shí)數(shù)a，使e-1≤f（x）≤e²，?x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)e-1≤f（x）≤e²對(duì)x∈[1，e]恒成立，得到關(guān)于a的不等式組，由（1）的結(jié)論求得函數(shù)的最值，解不等式組解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$-2x+a=$\frac{（a-x）（2x+a）}{x}$，由于a＞0，
即f（x）的增區(qū)間為（0，a），f（x）的減區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由題得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增
要使e-1≤f（x）≤e²對(duì)x∈[1，e]恒成立
只要 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1≥e-1}\\{f（e）{=a}^{2}{-e}^{2}+ae{≤e}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=e．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值等問題，考查恒成立問題的轉(zhuǎn)化求解能力，屬中檔題．